Works & Letters

Le séminaire Bourbaki a été fondé en 1948. Au rythme de quatre séances par an, il tente d'offrir un panorama des développements mathématiques actuels.

L'entrée est libre.

Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5^e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]

J.-P. Jouanolou — Catégories Dérivées en Cohomologie ℓ-adique , Edition. M. Carmona et al. [GitHub] [HAL]

The thesis of J.-P. Jouanolou was defended on July 3, \(n\) 1969, at IHP (Paris), in front of a jury chaired by P. Samuel, with examiners J. Dixmier, A. Grothendieck, and J. L. Verdier.

Grothendieck remarked [Récoltes et Semailles]:
De toutes façons, c’est aujourd’hui encore le seul texte au monde qui présente la théorie des coefficients ℓ-adiques, version catégories dérivées — et un texte introuvable par dessus le marché, pour mettre la joie à son comble.

14h30

Claire Voisin — La conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes de dimension au plus 5 , d'après Markman [PDF] [Live IHP]

La conjecture de Hodge porte sur la topologie et la géométrie analytique des variétés projectives complexes \(X\). Elle prédit grosso modo l’existence de sous-variétés algébriques de \(X\) ayant une classe de cohomologie donnée, à condition que cette classe soit une classe de Hodge. Le seul cas connu en général est celui des hypersurfaces (classes de degré \(2\)). Bien qu’il soit difficile de construire des classes de Hodge sur des variétés algébriques, il existe des exemples explicites produits par des procédés formels. C’est en particulier le cas des classes de Hodge, dites de Weil, sur les variétés abéliennes de Weil, qui sont des tores complexes algébriques admettant un endomorphisme quadratique. Je décrirai la stratégie qui a permis à Eyal Markman de démontrer la conjecture de Hodge pour les classes de Weil sur les variétés abéliennes de Weil de dimension \(4\), ce qui entraîne la conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes de dimension au plus \(5\), grâce à des résultats antérieurs.

16h00

Sylvy Anscombe — The model theory of perfectoid fields , after Jahnke and Kartas [PDF] [Live IHP]

The “AKE principles” of Ax, Kochen, and Ershov, have at their heart an axiomatization of the first-order theories of henselian valued fields of residue characteristic zero. This work yields the famous asymptotic transfer principle for first-order sentences between the local fields of mixed and positive characteristics. Fontaine’s tilt of a ring \(R\) is the inverse limit \(R^{\flat}\) of copies of the ring \(R/p\) with transition maps given by Frobenius \(x\mapsto x^{p}\), and in celebrated work, Scholze prove that tilting is then an equivalence between the category of perfectoid rings over \(K\) and the category of perfectoid rings over \(K^{\flat}\).

The aim of this talk is to explain a new contribution of Jahnke and Kartas, who have introduced an elementary class \(\mathcal{C}\) of valued fields, containing the perfectoid fields, and proved a range of AKE priciples in this context, including for the first time valued fields admitting nontrivial defect extensions. From their work one obtains a non-standard version of the Almost Purity theorem of Scholze, and the Fontaine–Wintenberger theorem. This should be seen in the context of Kuhlmann’s tame valued fields are another setting in which there is an Ax–Kochen/Ershov-like theory, as well as important earlier work of Kuhlmann and Rzepka on the valuation theory of deeply ramified fields, and of Kartas which showed the transfer of decidability problems via tilting. More recently, Rideau-Kikuchi, Scanlon, and Simon have formalized the tilt as a bi-interpretation in continuous logic.